一、 研究背景與問題提出

柔性可拉伸電子技術(shù)是當(dāng)前的前沿領(lǐng)域，其在生物醫(yī)療、可穿戴設(shè)備、軟體機(jī)器人等方面具有廣泛應(yīng)用前景。其中，“島-橋"結(jié)構(gòu)是一種關(guān)鍵設(shè)計策略：將功能強(qiáng)大的剛性電子元件（如芯片、傳感器）作為“島嶼"集成在柔軟的彈性基底上，并通過可大幅拉伸的蛇形“橋梁"進(jìn)行連接。然而，這種“剛?cè)岵?jì)"的結(jié)構(gòu)存在一個核心力學(xué)問題——島效應(yīng)。即當(dāng)基底被拉伸時，由于剛性島與軟基底之間的巨大模量差異，變形無法均勻傳遞，導(dǎo)致在島嶼邊緣界面處產(chǎn)生嚴(yán)重的應(yīng)變集中。這種局部高應(yīng)變極易引起界面脫粘、材料撕裂等失效，嚴(yán)重制約了整個器件系統(tǒng)的拉伸性和可靠性。

盡管已有研究觀察到了這一現(xiàn)象，但對于其內(nèi)在機(jī)理，尤其是在等雙軸拉伸這一復(fù)雜載荷下的定量預(yù)測模型，仍缺乏系統(tǒng)的理論闡述。因此，建立一個能夠準(zhǔn)確預(yù)測島效應(yīng)下的變形和應(yīng)變分布的理論模型，對于指導(dǎo)柔性電子器件的優(yōu)化設(shè)計至關(guān)重要。

二、 研究內(nèi)容與方法

本研究聚焦于島效應(yīng)，旨在建立一個普適的標(biāo)度律，用于預(yù)測在等雙軸拉伸下，基底表面的位移和應(yīng)變分布。研究結(jié)合了三種方法：

1. 理論建模：從具有幾何對稱性的基本單元（方形基底+中心圓形剛性島）出發(fā)，建立理論分析框架。

2. 數(shù)值模擬：利用有限元分析進(jìn)行參數(shù)化研究和模型驗(yàn)證。

3. 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：通過等雙軸拉伸試驗(yàn)和數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)，定量測量變形場，與理論預(yù)測進(jìn)行對比。

三、 核心發(fā)現(xiàn)與理論模型

1. 關(guān)鍵控制參數(shù)：通過量綱分析和參數(shù)研究，論文明確指出，歸一化的島半徑與基底半長之比（R/L） 是決定島效應(yīng)變形場的關(guān)鍵參數(shù)。當(dāng)島嶼模量遠(yuǎn)大于基底（E_i / E_s ≥ 10）時，施加的應(yīng)變大小、基底的本構(gòu)模型（線彈性或超彈性）對歸一化的變形模式影響甚微。

2. 位移與應(yīng)變標(biāo)度律：

基于位移場的對稱性和周期性特征，研究建立了以三角函數(shù)為核心的位移標(biāo)度律解析表達(dá)式。位移場由幾個特征參數(shù)（如平均徑向位移、擾動幅值等）描述。

這些特征參數(shù)均可表示為 R/L 和 r/L （歸一化徑向坐標(biāo)）的函數(shù)，并通過擬合有限元數(shù)據(jù)，得到了具體的經(jīng)驗(yàn)公式。

通過對位移表達(dá)式進(jìn)行微分，進(jìn)一步推導(dǎo)出了徑向、環(huán)向及剪切應(yīng)變分量的完整解析解。

3. 軸對稱簡化準(zhǔn)則：研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)島嶼較小時，變形場近似軸對稱（與角度θ無關(guān)）；當(dāng)島嶼較大時，角度的影響不可忽略。為此，論文提出了一個清晰的判據(jù)：當(dāng) R/L ≤ 0.2587 時，問題可簡化為軸對稱問題，標(biāo)度律方程可大幅簡化，且與經(jīng)典彈性理論解高度吻合。

4. 模型適用范圍：該標(biāo)度律模型成立需滿足幾個條件：

基底可簡化為平面應(yīng)力狀態(tài)（厚度遠(yuǎn)小于平面尺寸）。

島嶼可視為剛性（E_i / E_s ≥ 10）。

歸一化島半徑 R/L < 0.81 （臨界閾值）。

四、 模型驗(yàn)證與應(yīng)用拓展

1. 驗(yàn)證：

邊界條件滿足性：理論模型預(yù)測的位移場能很好地滿足島嶼界面無位移和基底邊界等位移的邊界條件。

與FEA和實(shí)驗(yàn)對比：針對不同R/L值（如0.3, 0.5），標(biāo)度律的預(yù)測結(jié)果與有限元模擬及DIC實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果均高度一致，成功捕捉到了島嶼邊緣的應(yīng)變集中現(xiàn)象。

2. 向周期性陣列的拓展：

對于實(shí)際器件中常見的周期性島嶼陣列，論文引入了面積覆蓋率（η） 的概念。

研究揭示，應(yīng)變集中程度主要由面積覆蓋率η決定。一個由多個小島嶼組成的陣列與一個具有相同η的單個大島嶼，所產(chǎn)生的宏觀應(yīng)變集中水平是等效的。這為設(shè)計師提供了靈活性：可以根據(jù)電子元件的實(shí)際尺寸來排布島嶼的大小和布局，從而在最小化應(yīng)力集中和表面利用率之間取得平衡。

五、 結(jié)論與意義

本研究成功發(fā)展了一個用于預(yù)測等雙軸拉伸下島效應(yīng)的理論模型。該模型的核心貢獻(xiàn)在于：

明確了R/L的核心主導(dǎo)作用，將復(fù)雜的力學(xué)問題參數(shù)化。

提供了位移和應(yīng)變分布的顯式解析表達(dá)式（標(biāo)度律），具有強(qiáng)大的預(yù)測能力。

給出了實(shí)用的軸對稱簡化判據(jù)，便于工程應(yīng)用。

將模型從單島推廣到島陣列，極大地增強(qiáng)了其實(shí)用價值。